Capelli, decenni e colombe

Il problema della scorsa settimana riguardante il numero di persone con lo stesso numero di capelli in testa è un chiaro esempio dell'applicazione del principio della cella (di cui abbiamo discusso qualche anno fa in relazione a una questione che riguardava calzini e cassetti). Noto anche come principio della cella o principio di Dirichlet (dal nome del grande matematico tedesco Peter Gustav Dirichlet, che, tra gli altri contributi, introdusse il concetto moderno di funzione), la sua formulazione più semplice – e da qui il suo nome – è che se una cella ha 100 celle, solo un massimo di 100 piccioni possono essere sistemati in modo tale che ci sia un solo piccione in ogni cella. Se ci sono più di 100 piccioni, ci sarà necessariamente più di un piccione in una cella.

Se il numero massimo possibile di capelli è 100.000, ci possono essere solo 100.000 persone con diversi tipi di capelli (ignoreremo le persone completamente calve – e le chiazze calve, che esistono anch'esse – per semplicità). Se tutti i tipi di capelli fossero rigorosamente ugualmente probabili (cosa che ovviamente non è), in una popolazione di 3,5 milioni di persone ci sarebbero 35 persone con 100.000 capelli, 35 con 99.999, 35 con 99.998..., 35 con 2 capelli (come Homer Simpson) e 35 con un solo capello. Poiché una distribuzione così uniforme è chiaramente improbabile, possiamo essere statisticamente certi che in una città come Madrid ci saranno numerosi gruppi di centinaia di persone che in un dato momento avranno esattamente lo stesso numero di capelli.

E quante persone a Madrid possono esserci, al massimo, con lo stesso numero di capelli? In teoria, 3,5 milioni. In pratica , potremmo solo fare un'approssimazione statistica plausibile basata sulle informazioni disponibili (se disponibili) sulla distribuzione quantitativa dei diversi tipi di capelli.

Riguardo al numero minimo di anni bisestili in un decennio, come sottolinea Ángel Barrientos: "Se si può iniziare a contare il decennio da un anno qualsiasi, ad esempio dal 1897, il minimo è 1, poiché solo il 1904 sarebbe un anno bisestile". Esatto, poiché il 1900 non era un anno bisestile, pur essendo divisibile per 4.

In senso stretto, un decennio è ciascuno dei dieci decenni di un secolo; ma in un secondo senso, "decennio" è sinonimo di "decennio", quindi la stima di cui sopra è valida.

Si noti, tra l'altro, l'ambiguità creata dalla diffusa abitudine di nominare i decenni con numeri interi, come quando diciamo "gli anni Ottanta" o "i ruggenti anni Venti". Il 1980 fa parte del decennio a cui si riferisce? Il 1920 era una follia o è semplicemente sfuggito alla corsa?

E quanto al presunto vento onnipresente, precursore del Diluvio Universale, nemmeno un Dio onnipotente avrebbe potuto scatenarlo: è un'assurdità topologica, come dimostra il teorema del punto fisso . Ma questo è un altro articolo.

La colombaia e oltre

Il principio del piccione può sembrare ovvio, ma affronta efficacemente un gran numero di problemi (spesso in combinazione con la teoria dei grafi), alcuni semplici e altri non così semplici; per esempio:

Quante volte devi lanciare un dado per essere sicuro di ottenere lo stesso numero almeno tre volte?

Scegli 12 numeri di due cifre qualsiasi. Se li sottrai, scoprirai che c'è almeno una coppia la cui differenza è un numero con le stesse cifre. Perché?

Dimostra che in un gruppo di 6 persone ci sono sempre 3 che si conoscono o 3 che non si conoscono.