Quelle est la plus petite distance sur laquelle une aiguille peut tourner avant d'être inversée ? Ce mathématicien a enfin résolu la conjecture de Kakeya.

Il existe des problèmes qui semblent enfantins, mais qui cachent un labyrinthe mental monstrueux dont les impasses ont conduit à la disparition de certains des esprits les plus doués de l'humanité. Le mathématicien japonais Soichi Kakeya en a posé un très simple en 1917. Il suffit de placer une aiguille ou un stylo contre un mur et de pointer la pointe vers le plafond. Si on veut le retourner et le pointer vers le sol, quelle est la plus petite surface que la trajectoire tracera ? La réponse intuitive est qu'en inversant l'aiguille, elle formera un cercle parfait, mais si on la déplace habilement, elle composera une sorte de triangle aux côtés concaves, couvrant une surface plus petite. La mathématicienne Hong Wang explique une variante diabolique du problème de Kakeya. Elle prend un stylo doré en l'air et commence à le faire tourner doucement. Quel serait le plus petit volume pour pointer partout ? Wang et son collègue Joshua Zahl sont les premiers à sortir vivants de ce labyrinthe. Ils ont résolu la conjecture de Kakeya en trois dimensions.

Hong Wang est née il y a 34 ans à Guilin , une ville chinoise entourée de montagnes si abruptes et luxuriantes qu'elles semblent irréelles. Le paysage, sujet de légendes de dragons et de démons, est si beau qu'une phrase lapidaire attribuée à un poète circule en Chine : « Je préférerais naître à Guilin qu'être un dieu. » Wang fait flotter sa plume dans les airs dans un jardin de la ville madrilène d'El Escorial, où elle est venue expliquer ses résultats pendant trois jours en juin lors d'une conférence organisée par l'Institut des sciences mathématiques (ICMAT). La chercheuse dessine des volumes dans l'air, comme en transe. Son travail a ouvert la porte à un monde abstrait inconnu et a bouleversé ses collègues. « C'est l'une des plus grandes prouesses mathématiques du XXIe siècle », a proclamé son collègue israélien Eyal Lubetzky .

La solution au problème de Kakeya n'est pas un dessin en trois dimensions, mais une étude de 127 pages remplie de formules. Un participant à la conférence de l'Escurial plaisante en disant que seules deux personnes au monde sont capables de comprendre pleinement ces 127 pages : les auteurs eux-mêmes. « Je n'avais aucune ambition de résoudre le problème de Kakeya », explique Wang, de l'Université de New York (États-Unis). La professeure ne se souvient même pas de la première fois où elle a entendu parler de l'aiguille qui tourne, mais elle se souvient du jour où elle a découvert son véritable objectif : la conjecture de restriction. « C'était en lisant une étude d'un mathématicien espagnol, Luis Vega », se souvient-elle.

La conjecture de contrainte est l'un des problèmes ouverts les plus importants de l'analyse harmonique, une branche des mathématiques qui étudie la décomposition d'un signal, tel que le son, en ses composantes les plus élémentaires. La technique principale, appelée transformée de Fourier du nom de son créateur, le Français Joseph Fourier (1768-1830), permet désormais la compression de fichiers audio et vidéo numériques. C'est l'un des domaines les plus prometteurs de la discipline, et ses applications sauvent des millions de vies en permettant également la création d' images diagnostiques médicales, telles que l'imagerie par résonance magnétique et les électrocardiogrammes. La conjecture de contrainte traite du comportement différent de la transformée de Fourier lorsqu'elle est limitée à une surface courbe, comme une sphère.

Wang parle de son attaque contre la conjecture de restriction comme s'il venait d'établir son camp de base au pied d'une montagne hostile et jamais escaladée dans sa ville natale de Guilin. « La conjecture de Kakeya est le point de départ ; elle est à la base d'une tour de conjectures », note-t-il. « La conjecture de restriction est plus puissante. Pour progresser, il faut bien comprendre la conjecture de Kakeya », ajoute Wang, qui l'a si bien comprise qu'il l'a résolue. Lorsque de nombreuses lignes – ou aiguilles – se chevauchent dans l'espace, elles peuvent donner naissance à une configuration de paquets d'ondes, c'est pourquoi la conjecture de restriction implique la conjecture de Kakeya, selon les termes de l'Américain Terence Tao , l'un des plus grands mathématiciens vivants.

Antonio Córdoba , 76 ans, un Espagnol, a consacré sa thèse de doctorat de 1977 au défi de Kakeya. Dans un texte populaire publié dans EL PAÍS en mars, après la résolution de la conjecture, il expliquait que les aiguilles de la proposition initiale deviennent des parallélépipèdes, des cylindres ou des tubes de plus grandes dimensions. Córdoba, ancien directeur de l'ICMAT, a salué le travail de Wang et Zahl. « Ils utilisent, dans le sillage de ma thèse, des calculs complexes de chevauchement de parallélépipèdes dans l'espace, basés sur la géométrie euclidienne classique, mais d'une telle complexité combinatoire que leur développement nécessite plus de 120 pages de raisonnement complexe », a expliqué Córdoba. « C'est un exemple de ce que j'aime appeler le suprématisme dans l'analyse harmonique - en raison de l'utilisation de rectangles et de tubes, similaires à ceux observés dans les œuvres du mouvement de peinture russe - mais, dans leur cas, il s'agit d'un suprématisme baroque, si vous me pardonnez l'oxymore », a-t-il ajouté.

Luis Vega, l'Espagnol qui a révélé involontairement la conjecture de restriction à Wang, est un disciple de Córdoba et ancien directeur scientifique du Centre basque de mathématiques appliquées de Bilbao. Il y a quatre ans, il a remporté le Prix national de la recherche décerné par le ministère des Sciences. Ses réponses aux questions de ce journal donnent une idée de la complexité de la réalisation. « Je n'ai pas travaillé sur ces sujets depuis un certain temps. En fait, je les ai suivis de loin. Des techniques très sophistiquées ont été développées, qui nécessitent du temps et une certaine capacité à les comprendre », reconnaît-il. « Il est clair que Hong Wang et Joshua Zahl sont actuellement la voie à suivre, et, comme je l'ai dit, très difficile à suivre. Le chemin qu'ils emprunteront et son aboutissement, quel qu'il soit, seront sans aucun doute passionnants », estime-t-il.

Le professeur de l'Université de New York se comporte comme une personne extrêmement humble, refusant même d'évoquer la possibilité de gagner une médaille Fields, la plus haute distinction de l'Union mathématique internationale, réservée aux génies de moins de 40 ans. La médaille d'or porte une inscription latine : « Transire suum pectus mundoque potiri », ce qui se traduit approximativement par « Transcendez-vous et conquérez le monde ».