¿Cuál es el menor espacio en el que puede girarse una aguja hasta invertir su posición? Esta matemática ha resuelto por fin la conjetura de Kakeya

Hay problemas con apariencia infantil, pero que esconden un monstruoso laberinto mental en cuyos callejones sin salida se han perdido algunos de los cerebros más dotados de la humanidad. El matemático japonés Soichi Kakeya planteó uno muy sencillo en 1917. Solo hay que poner una aguja o un bolígrafo contra una pared y colocar la punta mirando al techo. Si queremos darle la vuelta y que apunte al suelo, ¿cuál es la superficie mínima que dibujará la trayectoria? La respuesta intuitiva es que al invertir la aguja formará un círculo perfecto, pero, si se mueve con pericia, compondrá una especie de triángulo de lados cóncavos, cubriendo un área menor. La matemática Hong Wang explica una variante endiablada del problema de Kakeya. Coge un bolígrafo dorado en el aire y comienza a girarlo con delicadeza. ¿Cuál sería el volumen mínimo para apuntar a todas partes? Wang y su colega Joshua Zahl son las primeras personas que salen vivas de este laberinto. Han resuelto la conjetura de Kakeya en tres dimensiones.

Hong Wang nació hace 34 años en Guilin, una ciudad china rodeada de montañas tan puntiagudas y frondosas que parecen irreales. El paisaje, protagonista de leyendas de dragones y demonios, es tan bello que en China circula una frase lapidaria atribuida a un poeta: “Prefiero nacer en Guilin que ser un dios”. Wang mueve el bolígrafo en el aire en un jardín de la localidad madrileña de El Escorial, adonde ha acudido para explicar sus resultados durante tres días de junio en un congreso organizado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT). La investigadora dibuja volúmenes en el aire, como si estuviera en trance. Su trabajo ha abierto la puerta a un mundo abstracto desconocido y ha conmocionado a sus colegas. “Es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XXI”, ha proclamado su compañero israelí Eyal Lubetzky.

La solución al problema de Kakeya no es un dibujo tridimensional, sino un estudio de 127 páginas llenas de fórmulas. Un asistente al congreso de El Escorial bromea diciendo que solo dos personas en el mundo son capaces de entender completamente esas 127 páginas: sus propios autores. “Yo no tenía la ambición de resolver el problema de Kakeya”, afirma Wang, de la Universidad de Nueva York (EE UU). La profesora ni siquiera recuerda la primera vez que escuchó hablar de la aguja que da vueltas en el aire, pero sí se acuerda del día en que conoció la existencia de su auténtico objetivo: la conjetura de restricción. “Fue leyendo un estudio de un matemático español, Luis Vega”, rememora.

La conjetura de restricción es uno de los problemas abiertos más relevantes del análisis armónico, una rama de las matemáticas que estudia cómo descomponer una señal, como las del sonido, en componentes más básicos. La técnica principal, llamada transformada de Fourier por su creador —el francés Joseph Fourier (1768-1830)—, permite ahora comprimir archivos digitales de audio y vídeo. Es una de las áreas más candentes de la disciplina y sus aplicaciones salvan millones de vidas, al posibilitar también la formación de imágenes de diagnóstico médico, como la resonancia magnética y el electrocardiograma. La conjetura de restricción trata del diferente comportamiento de la transformada de Fourier cuando se restringe a una superficie curva, como la esfera.

Wang habla de su asalto a la conjetura de restricción como si acabase de instalar el campamento base al pie de una montaña hostil jamás escalada en su Guilin natal. “La conjetura de Kakeya es el punto de inicio, está en la base de una torre de conjeturas”, señala. “La conjetura de restricción es más poderosa. Para hacer progresos necesitas entender muy bien la de Kakeya”, añade Wang, que la entendió tan bien que la resolvió. Cuando muchas rectas —o agujas— se superponen en el espacio pueden dar lugar a una configuración de paquetes de ondas, por eso la conjetura de restricción implica la de Kakeya, en palabras del estadounidense Terence Tao, uno de los mejores matemáticos vivos.

El español Antonio Córdoba, de 76 años, dedicó su tesis doctoral en 1977 al desafío de Kakeya. En un texto divulgativo publicado en EL PAÍS en marzo, tras la resolución de la conjetura, explicó que las agujas del planteamiento inicial se convierten en paralelepípedos, cilindros o tubos en dimensiones mayores. Córdoba, exdirector del ICMAT, aplaudió el trabajo de Wang y Zahl. “Emplean —en la estela de mi tesis— complicados cálculos del solapamiento de paralelepípedos en el espacio, basados en la geometría clásica de Euclides, pero de una complejidad combinatoria tal que su desarrollo necesita más de 120 páginas de intrincados razonamientos”, expuso Córdoba. “Es un ejemplo de lo que me gusta denominar suprematismo en análisis armónico —por el uso de rectángulos y tubos, similares a los observados en obras del movimiento pictórico ruso—, pero, en su caso, se trata de un suprematismo barroco, si se permite el oxímoron”, añadió.

Luis Vega, el español que sin pretenderlo reveló la conjetura de restricción a Wang, es discípulo de Córdoba y exdirector científico del Centro Vasco de Matemática Aplicada, en Bilbao. Hace cuatro años ganó el Premio Nacional de Investigación otorgado por el Ministerio de Ciencia. Sus respuestas a las preguntas de este periódico dan una idea de la complejidad del logro. “Hace tiempo que no trabajo en estas cosas. De hecho lo sigo desde lejos. Se han desarrollado técnicas muy sofisticadas que requieren tiempo y capacidad para entenderlas”, reconoce. “Está claro que Hong Wang y Joshua Zahl son ahora mismo la estela a seguir y, como digo, muy difícil de seguir. El camino que sigan y el final del camino, sea cual sea, serán sin duda apasionantes”, opina.

La profesora de la Universidad de Nueva York se comporta como una persona extremadamente humilde, que no quiere ni mencionar la posibilidad de ganar una medalla Fields, el máximo galardón de la Unión Matemática Internacional, reservado a genios menores de 40 años. En el oro de la medalla está grabada una inscripción en latín: “Transire suum pectus mundoque potiri”, que se podría traducir como “Trascender a uno mismo y conquistar el mundo”.