Una joven de 17 años refuta una conjetura matemática propuesta hace 40 años

A Hannah Cairo se le había atascado un problema matemático. En aquellas semanas no pensaba en otra cosa y decidió probar un nuevo enfoque. “Tras meses tratando de demostrar el resultado, conseguí entender por qué era tan difícil. Me di cuenta de que, si utilizaba esa información de la manera correcta, tal vez pudiera refutar la afirmación. Finalmente, tras varios intentos fallidos, hallé la forma de construir un contraejemplo [un caso que no verifica la propiedad estudiada y que demuestra que no es cierta, de forma general]“. Ciaro cuenta que requería varias herramientas, entre ellas fractales, y tuvo que colocar todo de una manera muy cuidadosa. ”Me llevó un tiempo convencer a Ruixiang Zhang [el profesor de la asignatura en la que se había planteado el problema] de que mi propuesta era realmente correcta”, asegura Cairo.

Resultó serlo y, con ello, Cairo resolvió la llamada conjetura de Mizohata-Takeuchi, un problema propuesto en la década de 1980, sobre el que la comunidad del análisis armónico llevaba décadas trabajando. Aunque se esperaba que fuera cierta –de ser así, quedaban automáticamente resueltos otros resultados de importancia en el campo–, la comunidad recibió el resultado con entusiasmo. Y con sorpresa: su autora era una joven de 17 años que aún no había terminado el instituto.

“Cuando me mudé a EE UU desde Nassau [Bahamas, donde nació], me integré al sistema educativo como estudiante de instituto, aunque tomaba clases en la Universidad de Berkeley. Escribía a los profesores, les decía qué libros había leído sobre el tema y les preguntaba si podía asistir a sus clases. Muchos me dijeron que sí, entre ellos Zhang”, relata. “Un día, propuso probar un caso especial de la conjetura, mucho más simple, como tarea para casa. Como parte opcional, planteó la conjetura original. Y me obsesioné con ella”, añade.

La conjetura de Mizohata-Takeuchi se engloba en el campo del análisis armónico, que trata de descomponer funciones en componentes más simples, como las funciones sinusoidales. Hoy en día, es un área de investigación muy candente y también se ha convertido en una herramienta fundamental en numerosas aplicaciones, desde la compresión de archivos digitales de audio y video al diseño de sistemas de telecomunicación.

El análisis armónico nació a principios del siglo XIX con el trabajo del matemático francés Joseph Fourier sobre el estudio de la función del calor, una ecuación en derivadas parciales que describe la difusión del calor en un cuerpo sólido. Su revolucionaria idea fue descomponer esta función compleja como suma de senos y cosenos. La técnica, conocida como series de Fourier, abrió la puerta a una nueva forma de entender fenómenos físicos y matemáticos. “En la teoría del análisis armónico todo está compuesto por ondas. Se puede construir cualquier cosa con ellas, si se utiliza un número oportuno de las ondas adecuadas”, describe Cairo.

En el análisis restringido de Fourier se analiza qué tipo de objetos pueden obtenerse, si se parte tan solo de un pequeño conjunto de ondas. “Únicamente se pueden construir ciertas cosas, y es muy difícil entender cuáles. La conjetura de Mizohata-Takeuchi afirma que, si solo se utilizan ciertos tipos de ondas, se obtiene una forma que está hecha de líneas”, explica.

“Una vez obtenido el primer contraejemplo, intenté reformular todo el problema en el espacio de frecuencias. Y observé cómo se veía, de esta manera, mi construcción. Entonces me di cuenta de que, en realidad, había otra forma mucho más sencilla de diseñar un contraejemplo”, declara, satisfecha, en una de las habitaciones de la Residencia San José, en El Escorial, donde del 9 al 13 de junio se celebró el 12º Congreso Internacional sobre Análisis Armónico y Ecuaciones en Derivadas Parciales, organizado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y la Universidad Autónoma de Madrid. El evento, conocido como Encuentros de El Escorial, se ha convertido, en sus casi 50 años de historia, en uno de los más prestigiosos en el área.

Se trata del primer viaje científico internacional de Cairo. Hace dos semanas desembarcó en Barcelona y, desde entonces, este es su cuarto congreso. “Es una experiencia estupenda pasar el rato con otras personas a la que les gustan las matemáticas”, afirma. En el congreso en El Escorial impartió una de las charlas del programa. Y, lejos de sentirse cohibida, lo ha disfrutado. A Cairo le gusta hablar en público. Adora dar clase a otros estudiantes —en ocasiones, mayores que ella—. Su vocación, afirma, es “ayudar a otras personas, hacerlas felices”. Y, desde que tiene memoria, le fascinan las matemáticas.

Empezó a leer complicados libros de la disciplina por su cuenta. “Siempre quise ser matemática, pero no sabía realmente lo que significaba hasta que aprendí álgebra abstracta, a través de libros. Es curioso, porque el álgebra abstracta está en el lado opuesto de las matemáticas que hago ahora. En realidad, al principio pensaba que me dedicaría a la teoría de números. Con trece o catorce años escribí un artículo sobre teoría de números, pero trataba sobre un problema que no le importaba a nadie”, rememora, entre risas.

Durante la pandemia de la covid, el campamento de verano del Círculo de Matemáticas de Berkeley —un encuentro en el que estudiantes preuniversitarios tratan de resolver, de forma colaborativa, problemas difíciles de matemáticas, similar al Pequeño Instituto de Matemáticas (PIM) del ICMAT— tuvo que desarrollarse en formato online. Esto permitió que Cairo, desde Bahamas, pudiera enrolarse en el curso. “Los círculos matemáticos consisten en explorar y compartir tus ideas con amigos; no tienen nada que ver con la matemática escolar, en la que hay que memorizar. La labor es similar a pintar un cuadro con tus ideas. No se trata de alcanzar un objetivo tangible, sino, simplemente, de comprender cosas, hacer preguntas, y también es una forma estupenda de hacer amigos”, describe.

El director del programa se dio cuenta del extraordinario talento matemático de Cairo –otro de los objetivos de este tipo de actividades es identificar a personas con especial habilidad para las matemáticas y fomentar su interés y capacidad– y le propuso ser profesora en las siguientes ediciones. Así lo hizo. Ahora, en su nueva universidad, la de Maryland, donde comienza su doctorado el curso que viene, espera empezar su propio grupo.

Allí, seguirá trabajando, dirigida por Zhang. “Me ha ayudado mucho y le estoy muy agradecida. Más allá de su clase, que me encantaba, me dedicó muchísimas horas de tutoría”, recuerda. En España, el nuevo Mathematics Intensive Programme (MIP) del ICMAT busca también detectar y acompañar trayectorias de este tipo.

Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.